第25回　2012 年 1 月 27 日 (金)

講演者

安福 悠 （日本大学）

タイトル

軌道の点の座標の大きさについて

アブストラクト

数論的力学系とディオファントス近似のつながりについて 考察する．
具体的には，f を射影空間上の自己写像とし， f の m 重合成を f^m で表し， P を射影空間の点とする．
このとき，十分大きな m に対し， f^m(P) の斉次座標の桁数の間に「大差」がでるかを調べる．
射影直線上では，大差がないことがシルバーマンにより 証明されているが，2次元以上では必ずしも同じことは成 り立たない．
本講演では，「大差」を正確に定義し，大差が出る場合・ 出ない場合の具体例を扱うとともに，大差が出ないと証明 できる十分条件について述べる．
この十分条件は以前得た結果より弱められているので， その改良についても報告する．

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第24回　2012 年 1 月 20 日 (金)

講演者

星 裕一郎 （京都大学数理解析研究所）

タイトル

双曲的曲線に付随する外 Galois 表現の核や像について

アブストラクト

数体上の双曲的曲線に付随する副有限外 Galois 表現は忠実であることが 知られているため，特に，その核は曲線に依存しない．
一方，p を素数とすると，副 p 外 Galois 表現の核は 与えられた曲線に依存して，例えば，型（と基礎体）を固定すると 副 p 外 Galois 表現が共通の核を持つような双曲的曲線の 同型類は高々有限個しか存在しない，などといったことが知られて いる．
この講演では，双曲的曲線に付随する副 p 外 Galois 表現の 核や像に関連する問題，例えば，その核に対応する Galois 拡大（アーベル 多様体での類似を考えるならば，この Galois 拡大は，すべての p べき 等分点たちの座標を添加して得られる Galois 拡大である）とその曲線の 有理点の様子の関連の問題や，双曲的曲線のモノドロミー充満性（楕円曲線 での類似を考えるならば，この性質は，虚数乗法を持たないという性質と 考えられる）に関する問題などについて，知られていること，及び，（講 演者が）知りたいことについての概説を行う．

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第23回　2012 年 1 月 13 日 (金)

講演者

奈良 忠央 （東北大学）

タイトル

楕円曲線のツイストの族の Mordell-Weil 群について

アブストラクト

Duquesne は楕円曲線 y² = x³ - nx (n:整数) のなかのある部分族を研究し， 明示的にパラメトライズされた2点がモーデル・ヴェイユ群の 基底として使えることを示した．
我々は楕円曲線 y² = x³ + n (n:整数) のなかの ある部分族について類似の考察を行い， 明示的な3点のうち2点を基底として使えることが示せた．
研究手法は canonical height の計算によるもので， その計算は標準的な手法である local height の分解を 使った．
これは日大の藤田氏との共同研究である．
これらの族はそれぞれ，楕円曲線の4次ツイスト， 6次ツイストの族と見ることができるが，ある2次ツイストの族についても 類似の結果がえられたので紹介したい．

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公聴会　2012 年 1 月 6 日 (金)

講演者1

Fang-Ting Tu （早稲田大学）

タイトル

On the Arithmetic of Quaternion Orders and Its Applications

講演者2

森澤 貴之 （早稲田大学）

タイトル

On Weber's Class Number Problem （ウェーバーの類数問題について）

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第22回　2011 年 12 月 16 日 (金)

講演者

兵藤 史武 （早稲田大学）

タイトル

多重ゼータ値における Pentagon 関係式と Hexagon 関係式の関係についての具体的な計算

アブストラクト

多重ゼータ値達の母関数は associator になることが知られている．
近年，古庄英和氏によって associator をなすための条件は grouplike, Pentagon equation を満たすことが本質的であることが示された．

本講演では Hexagon equation, Pentagon equation それぞれから 得られる多重ゼータ値達の代数的関係式の依存関係について 計算機による具体的な計算を用いて考察する．

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第21回　2011 年 12 月 9 日 (金)

講演者

永野 中行 （早稲田大学）

タイトル

K3 曲面を通して見た √5 のヒルベルト・モジュラー関数について

アブストラクト

古典的な楕円関数論においては，楕円曲線族と楕円 モジュラー関数及びガウスの超幾何微分方程式とが 緊密に結びついています．
則ち， 1 つのパラメータを持つ楕円曲線族の周期 積分から周期写像を得ます．
楕円曲線族のパラメータは周期写像の逆写像を通し て楕円モジュラー関数とみなせます．
このとき，ガウスの超幾何微分方程式は周期積分を 解に持つ微分方程式となり，周期写像の多価性を統 制していると考えられます．
この話の類似を，複素数体上のある K3 曲 面族と √5 のヒルベルト・モジュラー関数 及びある線型偏微分方程式系の間の繋がりにおいて 見出すことができました．
則ち， 2 つのパラメータを持つある K3 曲 面族を与え，その周期写像を考えます．
この逆写像を見ることによって，この 2 つのパラ メータは √5 のヒルベルト・モジュラー関 数の組と見なすことができます．
そして周期積分を解に持つ微分方程式が周期写像の 多価性を統制しています．
今回，この繋がりを考察することによって，K3 曲面族の 2 つのパラメータを井草のテータ零値で 表示することができましたので，ご報告申し上げま す．

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第20回　2011 年 11 月 25 日 (金)

講演者

白根 竹人 （首都大学東京）

タイトル

A family of Galois closure curves for the Fermat sextic curve

アブストラクト

複素射影平面上の非特異 d 曲線 (d>3) に 対する Galois 閉包曲線の族に関する問題を考える．
この問題は 4 次，5 次曲線の場合は解決されており， さらに，ある特徴を持った曲面が現れることが知られて いる．
また，この問題は超越次数 1 である複素数体上の拡大体 への 1 変数有理関数体の埋め込まれ方に関する問題と関 連している．
本公演では，6 次の Fermat 曲線に関して上記の問題を 解決し，4 次，5 次曲線のときと同様の特徴を持った曲 面が現れるか調べる．
特に，6 次曲線に対して上記の問題を考えるときには， 自然にある種の 5 次対称群の被覆を考えることになる．
本公演では，その被覆を取り扱うアイデアを紹介する．

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第19回　2011 年 11 月 18 日 (金)

講演者

青山 崇洋 （東京理科大学）

タイトル

無限分解可能分布と多次元ゼータ分布

アブストラクト

確率論において無限分解可能分布という分布のクラスが存在する．
これは正規分布，ポアソン分布などを含む非常に重要なクラスと して認識されている．
一方，確率論と整数論の接点の一つとしてゼータ分布というもの が知られている．
これはリーマン・ゼータ関数を非零絶対収束領域において正規化 したものを特性関数として持つ一次元の分布のクラスとして定義 され，古くは1930年代後半の文献から記録が残っている．
しかし，この分布は20世紀の間に多くの注目を浴びることはなく， その性質は無限分解可能であることを除いて殆ど知られていない．
本講演では無限分解可能分布，一次元のゼータ分布の基本的な性 質を始め，東京理科大学中村隆氏との共同研究として無限分解可 能な多次元のゼータ分布の導入について紹介する予定である．

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第18回　2011 年 11 月 11 日 (金)

講演者

中島 さち子 (音楽家)

タイトル

Zeta Functions of Generalized Permutations with Application to Their Factorization Formulas
（一般化された置換のゼータ関数とその応用）

アブストラクト

有限集合上の置換 σ に対し，ゼータ関数を定義する ことができる（ Z 力学系のゼータ）．
このゼータ関数については，オイラー積表示や 行列式表示（置換行列による），関数等式等が既に知られている．
今回は，一般化された置換（ 1 の m 乗根のなす群 と S_n の Wreath 積の元）に対する ゼータ関数（ Z 力学系のゼータ関数を，σ の 素サイクル上の複素数値関数χで捻った L 関数） を定義し，その行列式表示，関数等式等を示す．
また，その応用として，Z 力学系の被覆の ゼータ関数が，元の Z 力学系の L 関数 の積に分解され，各オイラー因子の分解の様子が， 素サイクルの分解の様子を表す現象を観察する．
これは， Q 上のアーベル拡大体における デデキンドゼータが，Q 上のヘッケ L 関数の積に分解されること，その分解の様子が素数の 分解法則に対応していることに類似する現象である．
この内容は，小山信也氏（東洋大教授）との共同研究 による結果である．

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第17回　2011 年 10 月 28 日 (金)

講演者

長谷川 武博（工学院大学 学習支援センター）

タイトル

Some remarks on superspecial curves of low genus

アブストラクト

前回 (2009 年 1 月 9 日) の続きです．
前回は，ある仮定のもとで，良い性質をもつ 有限体上の関数体の塔の具体的な構成法をご紹介しました．
ここで，ある仮定とは，ある多項式 H(t) が 完全分解するような最小の体に関するものです．
本講演では，この仮定がいつでも成り立つことをご紹介します．

次のように証明します．
ドイリング多項式に対しては，そのような体は 2 次体です．
これは，ドイリング多項式の零点に対応するルジャンドル方程式によっ て定義される楕円曲線が超特異的であることから示されます．
この定理の類似を考えます．
つまり，多項式 H(t) に対応する方程式によって定義され る曲線が超特異的であることを証明します．
なお，この曲線の種数は 2 です．

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第16回　2011 年 10 月 14 日 (金)

講演者

岡本 亮彦 （早稲田大学）

タイトル

period-index problem and relative Brauer groups of genus 1 curves

アブストラクト

K- 有理点を持たない曲線 C において relative Brauer group Br(K(C)/K) が非自明 になる事が起こりえる．
Ciperiani と Krashen は，period と index が等しい 種数 1 の曲線については，その曲線の Jacobi 多様体 の K- 有理点から relative Brauer group が 計算できることを示した．
今回の講演では，period が 2 ，index が 4 の種数 1 の曲線の relative Brauer group を O'Neil によって 定義された period-index obstruction map を用いて 具体的に計算する．
時間があれば，種数が 2 以上の曲線の relative Brauer group の計算についても話す．

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第15回　2011 年 10 月 7 日 (金)

講演者

新井 啓介（東京電機大学）

タイトル

志村曲線上の点，および応用について

アブストラクト

モジュラー曲線 X₀(p) の有理点および2次体 （ただし類数1の虚2次体を除く）上の点は，素数 p が十分大なら カスプしかないことが知られている．
今回は，この結果の志村曲線における類似を紹介する．
応用として，Rasmussen-玉川によるある種のアーベル多様体の 有限性予想への貢献が得られたので，そちらについても紹介する．

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第14回　2011 年 7 月 22 日 (金)

講演者

吉永 崇志 (立命館大学)

タイトル

On the solutions of quadratic Diophantine equations

アブストラクト

We determine a finite set of representatives of the set of local solutions in a maximal lattice modulo the stabilizer of the lattice in question for a quadratic Diophantine equation.
Our study is based on the works of Shimura on quadratic forms.
Indeed, as an application of the result, we present a criterion (in both global and local cases) of the maximality of the lattice of (11.6 a) in his book ''Arithmetic and Analytic Theories of Quadratic Forms and Clifford Groups'' (2004).
This gives an answer to the question (11.6 a).
As one more global application, we investigate primitive solutions contained in a maximal lattice for the sums of squares on each vector space of dimension 4, 6, 8, or 10 over the field of rational numbers.

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第13回　2011 年 7 月 15 日 (金)

講演者

三浦 崇 (慶応義塾大学)

タイトル

CM体のイデアル類群へのGalois作用について

アブストラクト

k を総実代数体とし Lを k 上 有限次アーベルなCM 体とします．
このとき L のイデアル類群のFittingイデアルは 基礎体 k が有理数体の場合には Stickelberger元 を用いて完全に記述することが でき，これは岩澤主予想やStickelbergerの定理の精密化 を与えます．
しかし，一般の総実体上では特別な場合でしか L の イデアル類群のFittingイデアルは決定されておらず， ある場合にはStickelberger元が L のイデアル類群 のFittingイデアルに属さないということさえ起こり得ます (Greither-Kurihara)．
今回の講演では，基礎体 k が有理数体でない場合 に，Brumer予想の強い版であるStickelberger元が L の イデアル類群のFittingイデアルに属するか，あるいは イデアル類群のPontrjagin双対に属するかという問題に対して， 後者不成立の実例，及び両者同時に不成立の実例を与えます．
さらにPari-GPを用いた具体的な計算例についても紹介したいと 思います．

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第12回　2011 年 7 月 8 日 (金)

講演者

八森 祥隆 (東京理科大学)

タイトル

"岩澤による skew-symmetric pairing の構成について"

アブストラクト

関数体の Weil-pairing の岩澤理論における類似として 岩澤が構成した pairing を紹介，解説する．

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第11回　2011 年 7 月 1 日 (金)

※今週は基幹理工学部大学院の講演会を兼ねています．

講演者

Yifan Yang (NCTS/National Chiao Tung Univ.)

タイトル

Schwarzian differential equations and automorphic forms on Shimura curves

アブストラクト

Shimura curves are generalizations of classical modular curves.
Many properties about modular curves remain valid for Shimura curves.
However, because of the lack of cusps on Shimura curves, there are very few explicit methods for Shimura curves.
In this talk, we will first characterize automorphic forms on Shimura curves in terms of Schwarzian differential equations.
We then devise a method to compute Hecke operators on these automorphic forms.

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第10回　2011 年 6 月 24 日 (金)

講演者

小松 亨 (東京理科大学)

タイトル

On the existence of a Galois field with certain decomposition conditions

アブストラクト

2 以上の整数 n に対して，n のすべての素因子が惰性する n 次ガロア数体を考える．
ただし，ガロア数体とは有理数体のガロア拡大であるような代数体とする．
例えば，素数 2 が惰性する 8 次ガロア数体は存在しないことが知られている．
この非存在性より，有理数体上で生成的な 8 次巡回多項式の非存在性が証明される．
講演では，惰性する条件を満たすガロア数体が存在するための n の条件および， 存在する場合そのようなガロア数体の無限族の構成法についてお話させていただく．

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第9回　2011 年 6 月 17 日 (金)

講演者

小原 まりこ (東北大学)

タイトル

Rational elliptic surfaces related to Beilinson's Tate conjecture

アブストラクト

In this talk we present a rational elliptic surface over a field which satisfies Beilinson's Tate conjecture for K-groups of degree 2 but the boundary map arising from the localization sequence is not surjective in positive characteristic.
We consider the case where the base field has positive characteristic and is transcendental over its prime subfield.

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第8回　2011 年 6 月 10 日 (金)

※今回の金曜セミナーは，早稲田大学・基幹理工学部大学院の 講演会を兼ねています．

講演者

加藤 五郎 (California Polytechnic State Univ.)

タイトル

「コホモロジーを巡る人々，p-進コホモロジーとゼータ行列」

講演者からのコメント

I would like to remind you of my earlier comments.
Namely, Prof. Kedlaya and others have done far reaching results on the computation of zetas, which are far beyond what I will talk about at Waseda University on June 10.
So I am hoping that people who might be at my talk will come for relaxed entertainment rather than the newest and sharpest results.

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第7回　2011 年 6 月 3 日 (金)

講演者

伊藤 俊次 (金沢大学・大学院自然科学研究科)

タイトル

Pisot/non-Pisot substitutions and fractals

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第6回　2011 年 5 月 27 日 (金)

講演者

橋本 喜一朗 (早稲田大学)

タイトル

Noether's problem for permutation groups of degree 6 on the function field Q(x,y,z)

アブストラクト

Suppose that a finite group G is realized in Cremona group Cr_m(k), the group of k-automorphisms of the rational function field K of m variables over a constant field k.
The most general version of Noether's problem(NP) is then to ask, whether the subfield K^G consisting of G-invariant elements is again rational or not.
In this talk we shall discuss NP for subgroups G of S_n, the symmetric group of degree n, acting on the function field of the moduli space M_0,n of P¹ with ordered n marked points.
We shall explain how this version of NP is connected to the arithmetic geometry of hyperelliptic curves and classical theory of invariants of binary forms.

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第5回　2011 年 5 月 20 日 (金)

講演者

Fang Ting Tu（Waseda University）

タイトル

"On Orders of M(2, K) over A Non-Archimedean Local Field".

アブストラクト

In this talk, we will briefly illustrate that that if an order in M(2, K) is the intersection of finitely many maximal orders in M(2, K) then it is the intersection of at most 3 maximal orders. Thus, we obtain a complete classification of such intersection orders in M(2, K).

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第4回　2011 年 5 月 13 日 (金)

講演者

児島 道隆 （早稲田大学）

タイトル

複数の体上で同時収束する連分数について

アブストラクト

p を素数とする．有理数を除くp-進数は，”指数付き連分数” によって，一意的に表現することができる． 本講演では，この指数付き連分数がp-進数体と実数体上 で同時に収束するための十分条件を与える．
また，2つの素数p, qについて，p-進数体，q-進数体上で同 時に収束する連分数について得られている結果についても 報告する．

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第3回　2011 年 5 月 6 日 (金)

講演者

森澤 貴之 （早稲田大学）

タイトル

Primitive root modulo p² and Weber's Conjecture for p

アブストラクト

素数 p に対し， 有理数体の円分的 Z_p 拡大の全ての中間体の類数が 1 となるのではないか，という予想がある．
これを『Weber 予想』と呼ぶ．
だが，類数が 1 であることを証明することは難しいため， その類数が素数 l で割れるかどうか，という問題を考える．
近年，この問題に対し，堀江邦明氏をはじめ， 多くの研究者が精力的に研究を進めており，さまざまな結果を出している．
今回は，素数 l が p² を法として原始根となる場合について 得られた結果に関して講演させていただく．

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第2回　2011 年 4 月 22 日 (金)

講演者

尾崎 学 （早稲田大学）

タイトル

代数体の単数群のGalois cohomologyについて（survey）

アブストラクト

代数体のGalois拡大に付随する単数群のcohomology群 として，どのようなアーベル群が実際に現れるかという問題を， 特に不分岐p-拡大の場合に考える．述べる結果は既知の事実の 組み合わせから導けるものなので，今回はsurvey talkです．

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第1回　2011 年 4 月 15 日 (金)

講演者

小松 啓一 （早稲田大学）

タイトル

導手2べきの実アーベル体のZ_l-拡大のλ不変量について

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