第24回　2011 年 1 月 21 日 (金)

講演者

大竹 秀一 （早稲田大学）

タイトル

ある種の素数次多項式の根とそのGalois群の関係について

アブストラクト

方程式の実根の数を決定するSturmの問題というものがある．
今回はある種の素数次多項式の実根の数について考察し，
その帰結として方程式のGalois群が対称群や交代群になる
例が得られることを紹介する．

PDFファイル

第23回　2011 年 1 月 14 日 (金)

講演者

原 隆 （東京大学）

タイトル

非可換岩澤主予想及び関連する話題について

アブストラクト

総実代数体の非可換岩澤主予想がほぼ一般的に 解決されたことを記念(?)して，
非可換岩澤理論及び関連する話題について主予想 を中心に解説する．
非可換岩澤主予想の定式化及び古典理論との関係， 総実代数体の場合の証明の方針，
ゼータ関数の特殊値 (玉河数予想) との関係及び 今後の展望・課題などについて，
講演者の結果及び取組みも交えつつ紹介したい．

PDFファイル

第22回　2011 年 1 月 7 日 (金)

講演者

児島 道隆 （早稲田大学）

タイトル

p-進数体における連分数論

アブストラクト

実数体において，無理数の連分数展開の理論は よく知られている．
本講演では，いくつかのタイプの連分数が， どのような条件を満たすときに， それが実数体Rやp-進数体の中で収束するかを考察し， それぞれのタイプの連分数によって， どのような数が表現できるかについて，報告する．

PDFファイル

第21回　2010 年 12 月 17 日 (金)

講演者

今野 秀二 （神戸薬科大学元教授）

タイトル

量指標に associate する保型形式

アブストラクト

数体の相対2次拡大 F '/ F で F ' の イデール類群の quasicharacter b にはよく知られているように GL (2 , F) の保型表現が対応しています．
今回は b の parameta で具体的に対応 する保型形式を記述してみたい と思います（Weil, Converse theorem により）．
例．F ' が実２次体で b の道手が F ' の無限素点を1つだけ含むときは 重さ1の正則な保型形式が対応しているなど．

PDFファイル

第20回　2010 年 12 月 3 日 (金)

講演者

Florian Sprung (Brown University)

タイトル

任意のsupersingularな素数における保形型式の p 進 L 関数

アブストラクト

重さ 2 の保形型式と良い素数 p を固定する．
p 番目のフーリエ係数 a_p が p の倍数であるとき （つまり p がsupersingularであるとき）， p 進 L 関数が二個存在するが，これらからもっと いい性質を持つ p 進 L 関数を二通り作る方法を見 つけたので紹介します．
この方法はPollackの a_p = 0 の方法の一般化にも なるのでタイトルに”任意”という言葉が入ってます．
円分体のBSD予想と関連する p 進 L 関数を 用いた計算について説明します．

PDFファイル

第19回　2010 年 11 月 26 日 (金)

講演者

小山 信也　（東洋大学）

タイトル

量子エルゴード性の一般化

アブストラクト

量子エルゴード予想とは，ラプラシアンの固有関数の値分布が 固有値の増大に伴って限りなく一様になるだろうとの予想であり， コンパクト・リーマン面に対してこれを証明したリンデンシュトラウスが 2010年にフィールズ賞を受賞したことは記憶に新しい．
本講演では，固有値の代わりに合同部分群のレベルを増大させたとき， アイゼンシュタイン級数の値分布が，量子エルゴード性と同じ現象を 呈するという事実を紹介する．

なお，本講演の内容は12月9日に発売される予定の拙著 『素数からゼータへ，そしてカオスへ』 （日本評論社） にも詳しく解説した．

PDFファイル

第18回　2010 年 11 月 19 日 (金)

講演者

Marco Garuti (Padova University)

タイトル

Galois theory for schemes

アブストラクト

We discuss some aspects of finite group scheme actions:
the Galois correspondence and the notion of Galois closure.
If time permits, I will also mention ramification theory.

PDFファイル

第17回　2010 年 11 月 12 日 (金)

講演者

浦田 勇一朗 （電気通信大学）

タイトル

数列空間の対合とその固有数列について

アブストラクト

数列の空間上の線形な対合の族を定義する．
その対合の固有ベクトルとして，Bernoulli数をはじめとする， 数論的または組合せ論的に重要な数列が多く現れる．
対合とその固有数列の基本的な性質や，固有数列の母関数の微分作用素について述べる．
微分作用素を用いることで，固有数列に関するいろいろな等式を得られる．
（木田雅成との共同研究）

PDFファイル

第16回　2010 年 10 月 29 日 (金)

講演者

森澤 貴之 （早稲田大学）

タイトル

有理数体の Z₃ × Z₅-拡大 の中間体の類数について

アブストラクト

有理数体の円分的 Z_p-拡大の中間体について， その類数が素数 l で割れるかどうかという問題を考える．
この問題に対し，堀江氏，小松氏，福田氏，岡崎氏らは数々の 結果を出されている．
また，堀江氏は，いくつかの素数 p について， 有理数体上の円分的 Z_p-拡大を合併した拡大の 中間体の類数の l-非可除性に関しても結果を出されている．
今回は，その中でも最も簡単な，有理数体の Z₃ × Z₅-拡大の中間体の類数 について堀江氏の結果を改善することができたので，その結果に 関して講演させていただこうと思う．

PDFファイル

第15回　2010 年 10 月 22 日 (金)

講演者

森川 良三 （長崎大学）

タイトル

いくつかのワーリング・タイプの問題に使える共通の方法・概念

アブストラクト

5 月の当セミナーで話した
{ax² + by²| x, y は自然数を渉る}
の構造を決める問題はかなり進展して，全体像，証明の見通しも， おぼろげながらついた．
しかし，その長い議論を限られた時間でのべるより，他のいくつ かの同種の問題につかえる，共通の方法，概念をとりだして，説 明するほうが有益とおもうので，そういう話をしたい．

PDFファイル

第14回　2010 年 10 月 15 日 (金)

講演者

中村 隆 （東京理科大学）

タイトル

3-torsion of the Jacobian of curves of genus 2 and a certain family of elliptic threefolds.

アブストラクト

リーマンゼータ関数の一般化された強再帰性とは，リーマンゼータ関数の相異なる虚 部方向の移動により，お互いが近似できるというものである．
これは任意の実数パラメーターに対して定義される．

Bagchi はパラメーターが0である場合は一般化された強再帰性が成り立つことと，リー マン予想が成立することが同値であることを証明した．
パラメーターが殆ど全ての実数または代数的無理数である場合は講演者により 一般化された強再帰性が成り立つことが証明されている．
その後Pankowski が無理数である場合を示した．
0でない無理数の場合は，Garunkstis と講演者が独立に証明した．

本講演では上記の0でない一般化された強再帰性について述べる．
時間があればリーマンゼータ関数を含む良い条件を充たすL-関数 についても同様な結果が得られることについて話す．

PDFファイル

第13回　2010 年 10 月 8 日 (金)

講演者

鍬田 政人（中央大学）

タイトル

3-torsion of the Jacobian of curves of genus 2 and a certain family of elliptic threefolds.

アブストラクト

Let C be a curve of genus 2 defined by y² = f(x), where f(x) is a polynomial of degree 5 or 6 without multiple roots.
We would like to construct a family of C such that all the 3-torsion points of J(C) are defined over k(√(-3)).
To do so, we consider the elliptic surface defined by the Weierstrass equation E : Y² = X³ + f(x). This is a rational elliptic surface whose Mordell-Weil lattice is isomorphic to the root lattice of type E₈.
Using a recent result of Remke Kloosterman on the elliptic threefolds of the form Y² = X³ + g(s,t), we construct a three parameter family of elliptic surfaces E whose Mordell-Weil lattice is defined over k(√(-3)), and thus we obtain a three parameter family of C such that J(C)[3] is defined over k(√(-3)).

PDFファイル

第12回　2010 年 10 月 1 日 (金)

講演者

藤井 俊 （慶應大学）

タイトル

Small Iwasawa invariants of an imaginary quadratic field.

アブストラクト

p を素数とすると，代数体の Z_p 拡大に対して， 岩澤 λ，μ，ν 不変量が定義される．
このとき，岩澤不変量がどのように振舞うか， という問は Z_p 拡大において基本的なものである．
ここでは，p と基礎体を固定し， Z_p 拡大を動かした場合， 岩澤不変量がどのように振舞うか，という問題を考えてみたい．
この問題について，特に基礎体が虚二次体の場合に， いくつかの研究がこれまでになされている．
Bloom--Gerth による μ 不変量の研究， 虚二次体の類数が p で割れない場合，Sands，尾崎らによって λ，μ 不変量に関する結果が得られている．
本講演では， p が奇素数で，虚二次体の類数が p で割れる場合でも， 円分 Z_p 拡大の λ 不変量が小さいという仮定 （ほぼ Sands の結果の仮定と同じ）のもとで， ある一つの Z_p 拡大の族を除いて Sands と同じ結論が 得られることについて話をしたい．

PDFファイル

第11回　2010 年 7 月 9 日 (金)

講演者

小松 啓一 （早稲田大学）

タイトル

導手2べきの実アーベル体のZ_l-拡大のλ-不変量について
　（これは，福田隆氏と森澤貴之氏との共同研究です．）

PDFファイル

第10回　2010 年 7 月 2 日 (金)

講演者

大西 良博 （山梨大学）

タイトル

Hurwitz integrality of power series expansion of the sigma function in genus two

アブストラクト

まづ，一般の楕円曲線
y ² + (a₁ x + a₃)y = x ³ + a₂ x ²+ a₄ x + a₆
に付随する Weierstass の楕円 sigma 函数 σ(u) （古典的な仕方と異なり，a₁ , a₂ , a₃ を生かしたままで 定義することができる）の "平方" を u の羃級数に展開したとき， 各u ⁿ/n! の係数が a₁ , a₂ , a₃ , a₄ , a₆ の 整数係数多項式になる事（Hurwitz 整）の証明をお話しします． その際，σ(u) が，局所径数 t = x/y の 非常に緩い Hurwitz 整な級数に展開されることを示します．

・ この表示は canonical local height（有限素点でも無限素点でも） の計算に効果があると思はれます．

・ これらの事から σ(u) 自体が (a₁/2) , a₂ , a₃ , a₄ , a₆ の整数係数多項式環上の Hurwitz 整な級数に展開される事が示されます．

・ Weierstrass の 1894 年の論文に述べられてゐる漸化式から a₁ = a₂ = a₃ = 0 の場合に σ(u) は Z[1/3 , a₄ , a₆] 上の Hurwitz 整な級数に 展開される事がわかるのですが，この 1/3 を外した事が 主結果です．

・ 卑近な応用として，"universal" な等分多項式の いくつか係数の具体的な表示が得られるので， それを紹介いたします．

・ 時間があれば，種数の高い代数曲線の場合での 同様な結果についても触れたいと存じます．

PDFファイル

第9回　2010 年 6 月 25 日 (金)

講演者

村上 和明 （慶応大学）

タイトル

μ = 0 , λ = 3 の岩澤加群の同型類の分類

アブストラクト

p を奇素数，Λ = Z_p[[T]] とします．
μ = 0 , λ = 3 のとき，有限生成ねじれ Λ -加群で， 自明でない部分加群を持たないものの同型類を分類をします．
また，虚二次体に対して簡単な例を紹介します．

PDFファイル

第8回　2010 年 6 月 18 日 (金)

講演者

志賀 弘典（千葉大学）

タイトル

A Shimura curve via Picard modular forms

アブストラクト

様々に調べられている判別式 6 の志村曲線 S を Picard modular form の空間内で表示し， 対応するヤコビ多様体を決定します．
合わせて S を上半平面の数論的三角群による商と して実現します．

PDFファイル

第7回　2010 年 6 月 4 日 (金)

講演者

太田 香（津田塾大学）

タイトル

標数0の局所体の分岐ゼータ関数について

アブストラクト

Q_p の有限次拡大体 K に対して，その分岐に関連する2種類の ゼータ関数を定義する．
まず最初に，K の任意の有限次拡大 L に対して，積分 J(L/K) を 定義する．これは，距離の比 |a-a'|/|a-a₁| を，L/K の整の生成元 全体上で積分したものである．ここで，a' は a に最も近い a の K 上の共役で，a₁ は K 上の次数が a より小さい元のうち a に最も 近いもので，測度は L の整数環上で1をとる L のHaar測度とする． この比は常に1以下となるので， J(L/K) は0より大きく1以下の値をとり， J(L/K) = 1 であることと，L/K がtamely ramified とが同値 であることがわかっている．従って，J(L/K) は分岐のwildnessを 測るものである．

そして， K の全分岐ゼータ関数 TZ_K(s) および分岐ゼータ関数 RZ_K(s) を， n 番目の係数 a_n , b_n が，それぞれ
a_n = (K のすべての n 次拡大体 L についての J(L/K) の平均),
b_n = (K のすべての n 次完全分岐拡大体 Lについての J(L/K) の平均)
であるディリクレ級数として定義する． この定義から TZ_K(s)と RZ_K(s)はリーマンゼータ関数に上から おさえられるため，Re(s)>1 で絶対広義一様収束しそこで解析関数となる．

最後に，これらのゼータ関数の係数のうち a_p と b_p （ K は任意） および b_pr（ K = Q_pで r が p より小さい素数）の値を与える．

PDFファイル

第6回　2010 年 5 月 28 日 (金)

講演者

尾崎 学（近畿大学）

タイトル

周期的結び目のAlexander多項式について――数論の一応用例

アブストラクト

位数が素数 p の自己同型を持つ結び目 K の Alexander多項式 Δ_K(t) は，村杉条件 と呼ばれる強い制約を受けることが知られて いる．
この講演では， Δ_K(t) の次数が p-1 (次数が取りうる値の最小値)という仮定の下 で， Δ_K(t) として現れる多項式の集合 に対するいくつかの有限性・一意性定理を数論 を用いて示す．
使われる数論は円分体論の基本的事項と，解析 数論からは単数方程式の解の個数の評価である．

PDFファイル

第5回　2010 年 5 月 21 日 (金)

講演者

森川 良三（長崎大学）

タイトル

ax² + by² の表示する自然数

アブストラクト

1. a, b を互いに素なsquare-free である自然数とし，
V ( a, b ) = { ax² + by² | x, yは自然数 }
とおく．このV の構造を明らかにする．

2.そのためには B = ab としてV (1, B) を考えれば十分．
D = 4B とおき，V ( 1, B ) を次の3種に分ける：
(1) D を割らない素数
(2) D と素な合成数
(3) D と公約数をもつもの

3.(1)はある合同条件が必要十分のもの(フルケース) とさらに別の条件が加わるもの(NFケース)に分かれる．
(2)，(3)については，
(イ)使われる素数
(ロ)それらの素数の組み合わせ方
を決定する．
（注意）証明は未完．（現在整備中）

PDFファイル

第4回　2010 年 5 月 14 日 (金)

講演者

田村 敬太（立教大学）

タイトル

概均質ベクトル空間の保型超関数とその L-関数

アブストラクト

この講演では，Suzuki Toshiaki氏の論文
「Distributions with automorphy and dirichlet series, Nagoya Math J, 73(1979)」
における対称行列の概均質ベクトル空間の 保型超関数の一般の概均質ベクトル空間への 拡張についてと，保型超関数に関するL-関数の 関数等式についてを述べる．
さらに，Suzuki氏の論文には含まれない保型超関数の例についても紹介する．

PDFファイル

第3回　2010 年 5 月 7 日 (金)

講演者

川内 眞由美（首都大学東京）

タイトル

Leading coefficients of isogenies of degree p over Q_p

アブストラクト

素数 p (p≧5) について， Q_p 上定義され， Q_p 上 p 次のisogenyをもつ楕円曲線 E が， Q_p の完全分岐拡大体 L でsupersingular good reduction をもつとき，このisogenyを L の整数環 O_L 上の形式群のべき級数 としてあらわしたときの1次の項の係数の付値 t を F_p 上のDieudonne module の O_L 上への持ち上げを用いて決定した結果についてお話します．
また，この t を用いて Q 上 p 次の isogenyのセルマー群を計算した計算例に ついても触れたいと思います．

PDFファイル

第2回　2010 年 4 月 23 日 (金)

講演者

内田 幸寛（京都大学）

タイトル

Somos 4 数列の付値と楕円曲線上の局所高さ

アブストラクト

4以上の自然数kに対し，Somos k 数列とは， ある双線形漸化式とk個の初期値で定義される数列である．
例えば，楕円曲線の等分多項式から定まる elliptic divisibility sequence (EDS)はSomos 4 数列である．
代数体上定義されたEDSの付値の漸近挙動については すでにいくつかの結果が知られており，Somos 4 数列についても， Archimedes的付値に対しては知られている．
本講演では，Somos 4 数列の付値を楕円曲線上の局所高さで書き表し， その漸近挙動についてより精密な評価を行う．

PDFファイル

第1回　2010 年 4 月 16 日 (金)

講演者

橋本 喜一朗（早稲田大学）

タイトル

Jacobsthal 和の等式と分解型超楕円曲線

アブストラクト

奇素数pに関する平方剰余の和
J_p(f) := Σ_{x mod p} (f(x)/p)
を多項式 f(x) に対する Jacobsthal 和 といいます.
今回の話で扱う問題は以下の (A),(B) です:

(A) (-2/p)=1 のとき p= a² + 2b² をみたす整数 a,b を (p について一様な仕方で) Jacobsthal 和で表現すること

(B) 複数の異なる多項式に対する Jacobsthal 和たちの間の等式を構成的に 見出すこと

問題(A) については,

(A-1) (-1/p)=1 のとき p= a² + b²
(A-2) (-3/p)=1 のとき p= a² + ab + b²

の場合を, 2007 年 6 月 29 日の金曜セミナーで話しました. 今回はその続編です.

PDFファイル